<<Предыдущая страница

В. А. Ассонова, Н. В. Ассонова

Раздел 1. Задачи на построение

� 1.7. Этап доказательства в решении задач на       построение.

Доказательство в процессе решения задачи на построение дает логическое основание утверждать, что построенная фигура есть искомая.

Содержание этапа доказательства вытекает из следующего.

В процессе анализа мы как бы устанавливаем справедливость такого предположения: если искомая фигура должна удовлетворять поставленным условиям, то она может быть построена таким-то и таким-то путем.

Построение обращает рассуждения анализа, т. е. мы имеем здесь синтез, итогом которого будет построенная фигура. Но план построения зависит от варианта анализа (а вариантов может быть несколько), поэтому встает вопрос, является ли построенная фигура искомой, т. е. оказывается необходимым доказать следующее предложение: если некоторая фигура получена из данных элементов таким-то и таким-то построением, то она действительно удовлетворяет поставленным условиям.

Доказательство справедливости этого предложения и является логическим содержанием третьего этапа в решении задачи на построение.

Необходимость в доказательстве по существу возникает лишь тогда, когда часть условия задачи непосредственно не отражена планом построения. В других случаях доказательство выглядит весьма формально.

Приведем пример, когда доказательство существенно необходимо.

В задаче: построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с и сумме катетов s � план построения будет следующий (один из вариантов).

Строим AD = s (рис. 39); строим луч DB, наклоненный под углом 45� к лучу DA; строим окружность (А, с); строим ВС^AD.

В плане построения прямо не указано, что катеты прямоугольного треугольника строятся так, что их сумма равна s. Поэтому необходимо доказать следующую теорему:

Если треугольник АВС получен из данных элементов согласно плану, то это есть прямоугольный треугольник с катетами, сумма которых a+b=s.

То, что этот треугольник � прямоугольный, непосредственно следует из построения, и в данном случае этот момент в доказательстве не нуждается. (Другое дело, если бы при несколько ином варианте анализа в плане стояло бы: строим серединный перпендикуляр к DB или строим �DBC=45�. В этих случаях необходимо было бы доказать, что �С треугольника АВС � прямой.)

Обязательно надо доказать, что a+b=s, ибо это прямо из построения не следует.

Доказательство должно основываться на аксиомах, теоремах и следствиях из них, на свойствах фигур, как это делается при решении задач на доказательство.

В данном случае мы ссылаемся на общеизвестную теорему о сумме внутренних углов треугольника (DCB). По этой теореме �DBC=45�, т. е. треугольник DBC � равнобедренный, но в таком случае CB=DC, и тогда АС+СВ=s, что и требовалось доказать.

В случае, когда задача решается алгебраическим методом, доказательство обычно совершенно необходимо, так как план построения в основном сводится к построению отрезка х и обычно прямо не содержит условия задачи.

Хотя в большинстве школьных задач на построение практически надобности в особом доказательстве нет, тем не менее не следует пропускать этот этап. В случае задач на построение особо выпукло видна цель доказательства (убедиться, что построенная фигура есть искомая) и основание доказательства (в основном план построения и свойства фигуры).

     Необходимо убеждаться, является ли логически строгим построение, соответствует ли оно поставленной задаче.

Следующая страница>>