<<Предыдущая страница

В. А. Ассонова, Н. В. Ассонова

Раздел 1. Задачи на построение

ГЛАВА 2. ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

Осуществление этапов построения и доказательства обычно не вызывает затруднений. Поэтому мы лишь кратко рассмотрим отдельные вопросы, относящиеся к построению и доказательству.

� 1.6. Этап построения

Принципиальная необходимость этого этапа ясна: построение дает возможность выполнить требование задачи.

На уроках черчения в школе постоянно применяется чертежный треугольник. Мы не должны отказываться от употребления этого инструмента и при решении задач на построение. Тем более, что это вполне оправдано с теоретической точки зрения.

Свойства реальной (односторонней) линейки и реального циркуля, применяемых в практике, отражаются в теории геометрических построений в том, что мы считаем выполнимыми указанные в введении пять элементарных построений. Это своего рода постулаты абстрактного циркуля и абстрактной линейки.

Дополним эти пять постулатов еще двумя. Именно, будем считать выполнимыми:

построение прямой, проходящей через известную точку и перпендикулярной к известной прямой;

построение прямой, проходящей через известную точку и параллельной известной прямой.

Эти два новых допущения отражают свойства реального чертежного треугольника. Все вместе семь постулатов говорят, что в нашем распоряжении для решения задачи на построение есть теперь три абстрактных инструмента: линейка, циркуль, прямой угол.

Пусть некоторая задача А на построение разрешима при помощи трех указанных средств. Однако нам известно, что два только что указанных построения выполнимы при помощи циркуля и линейки. Следовательно, задача А разрешима при помощи только циркуля и линейки. Но тогда отпадают какие-либо основания �не допускать� чертежный треугольник для решения задач на построение, разрешимых только циркулем и линейкой, ибо �триада�: чертежный треугольник, циркуль и линейка � имеет не меньшую �мощность�, чем �классическая пара�.

Могут возразить, что раз можно обойтись без чертежного треугольника, то зачем же его применять. Но на таком основании пришлось бы отбросить и линейку, ибо еще Л. Маскерони, а много раньше его Г. Мор показали, что для решения задач второй степени (т. е. разрешимых при помощи циркуля и линейки) достаточно одного циркуля. Однако линейка все же значится среди классических средств построения. И это не случайно: практика подтвердила целесообразность исторически возникшей комбинации циркуля и линейки.

Чертежная практика давно узаконила как чрезвычайно удобный инструмент и чертежный треугольник.

Чертеж-построение должен удовлетворять требованиям наглядности, точности и правильности, чистоты, аккуратности, отчетливости и красоты отделки.

Как на точность, так и на отделку чертежа влияет навык в пользовании инструментами. Приемы пользования чертежными инструментами указаны в каждом учебнике черчения.

Например, недопустимо, когда при использовании циркуля берут его не за головку, а за ножки. При построении прямой при помощи линейки карандаш по линейке должен двигаться в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа и с небольшим наклоном вперед, а при вычерчивании окружности циркуль надо слегка наклонять в сторону поворота. Нельзя допускать поворачивания тетради при исполнении построения, а также выполнения части построения от руки и т. д.

Учитель черчения подскажет другие приемы и особенности работы над чертежом, влияющие на аккуратность отделки. Например, при обводке сопряжений сначала обводятся дуги малого радиуса, потом � дуги больших радиусов, наконец, прямые линии. При этом важно отметить точки сопряжения и начинать обводку от них.

Существенное значение имеет подготовка инструментов к работе: тонко очиненный карандаш и графит в ножке циркуля, наличие выверенных линейки и чертежного треугольника, исправность циркуля и другое.

Сделаем одно замечание относительно этапа построения в задачах, решаемых при помощи алгебры. Если в задачах, решаемых геометрическими методами, этап построения иногда и может быть опущен, то в данном случае он должен осуществляться по возможности для каждой из рассмотренных задач, ибо нельзя геометрическую задачу сводить только к алгебре (тем более, что алгебра играет здесь вспомогательную роль).

Построение искомой фигуры начинается с построения отрезков, выражаемых формулами. При этом надо следить, чтобы по возможности было меньше �переносов� найденных отрезков из одной части чертежа в другую.

В качестве примера выполним построение в задаче 15. Катеты искомого треугольника могут быть вычислены:

 и

 (пусть s₁>s₂).

На отрезке MN=2s₁, как на диаметре, построим окружность (А, s₁). На диаметре отложим МВ₁=s₂ и построим B₁F^MN, тогда  (рис. 38). Поставив ножку циркуля в точку М, откладываем отрезок MF на MN, получаем точку С. Катеты искомого треугольника построены (СА и СВ₁=СВ). Построив через точку С перпендикуляр к MN, откладываем на нем отрезок СВ=СВ₁ (или СА₁=СА) и строим искомый треугольник АВС (или А₁В₁С).

Мы не допустили ни одного переноса полученных отрезков (были выполнены лишь повороты некоторых из них).

Следующая страница>>