<<Предыдущая страница.

В.П.Василенков, Р.С. Златин, А.В. Дюндин

Раздел 1. Уравнения

� 1.4. Уравнения с параметрами.

5.     Использование геометрических соображений

при решении уравнений с параметрами.

                                                               В основе большинства математических            

                                                            открытий лежит какая-либо простая идея:

                                                            наглядное     геометрическое      построение,

                                                            новое   элементарное   неравенство  и  т. п.

                                                            Нужно     только     надлежащим     образом

                                                            применить  эту  простую  идею  к  решению

                                                           задачи, которая с  первого  взгляда  кажется    

                                                            недоступной.

                                                                                    А.Н.Колмогоров

Одним из мощных методов решения уравнений с параметрами является геометрический.

В зависимости от того, какая роль отводится параметру (равноправная или неравноправная с переменной) можно выделить два основных графических приема: первый - построения графического образа на координатной плоскости хоу, второй - на плоскости хоа.

    Вначале рассмотрим первый прием на конкретных приемах.

Пример 1. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

х-а = 2    имеет три различных корня.

Решение.

Изобразим график функции у = 2 , где а 0. График этой функции можно получить преобразованием графика функции у = . Заметим, что если х = 0, то у = 2а², если у = 0, то х = , кроме того, у  при любых а и х. В зависимости от а  график

будет иметь вид, изображенный на рис.4.

Для прямой I имеем .

Для прямой II имеем .

Так как  (при а = 0 уравнение имеет только один корень х = 0), то а = -2 или а = - .

      Ответ: а = -2 или а = - .

 Пример 2. При каких а уравнение  имеет решения?

Решение.

  Перепишем это уравнение иначе:   . Построим графики функций  и . Так как , то отсюда следует, что  и . Значит, графиком этой функции будет полуокружность, изображенная на рис.5.

Графиками функций  будут прямые, проходящие через точку (0;-1). Эти прямые будут пересекать полуокружность в том случае, если угловой коэффициент а этих прямых принадлежит числовым промежуткам  или .

      Ответ: .

Пример 3. При каких а уравнение  имеет три решения?

     Решение.

                                                             Построим на плоскости ХОУ графики

                  Рис.5

функций  и у = а. Из рис.6  видно, что прямая у = а пересекает график функции   в трех точках только в одном случае, когда а = .

    Ответ: а = .

Пример 4. Найти все значения параметра а , при которых уравнение   имеет: 1) одно решение;

                                            2) два решения;

                                            3) три решения.

     Решение.

Строим график функции . Для этого разобьем ось ОХ на два промежутка:  и . На первом промежутке , на втором .

Возможны случаи:

1) если , то прямая пересекает график в одной точке, значит, уравнение имеет одно решение;

1)  если а = 0 или а = 2, то уравнение имеет два решения;

2)  если , то уравнение имеет три решения.

     Ответ: при  уравнение имеет одно решение,

      при а = 0 или а = 2- два решения,

      при - три решения.

Теперь рассмотрим второй из геометрических  способов решения уравнений с параметрами. Если рассматривать параметр равноправным с переменной х, то ему можно выделить и свою координатную ось Оа. Таким образом возникает координатная плоскость Хоа. Решение уравнений геометрическим способом на координатной плоскости Хоа является одним из мощных методов решения задач с параметрами.

Процесс решения схематично выглядит так: вначале строится графический образ данного уравнения, затем, пересекая полученный график прямыми, перпендикулярными к оси Оа, �снимаем� нужную информацию.

    Пример 1. При каких значениях а уравнение

                     (а + 4х - х² - 1)(а + 1 - ) = 0 имеет ровно три корня.

         Решение.

Очевидно, что график этого уравнения в системе координат Хоа представляет объединение �уголка� и параболы (рис.5).

   Лишь одна прямая, перпендикулярная к оси Оа, пересекает это объединение в трех точках- это прямая а = -1.

       Ответ: а = -1.

   Пример 2. Решить уравнение .

       Решение.

   Попытка выразить из этого уравнения а через х вынуждает делить на . Поэтому мы должны считать, что , а это позволяет нам заметить, что х = 0- корень этого уравнения при любом а. Построим теперь график уравнения: оно равносильно совокупности х = 1 или .

Если , то ; -  это часть гиперболы (рис.6).

Если �1<х 0, то .

Если х = 0, то а- любое.

Если х > 0, то .

   Внимание: прямая х = 0 является частью графика.

Теперь будем проводить прямые, перпендикулярные оси Оа и �снимать� информацию:

1)  если >1, то х = 0; 2) если �1<a<1, то х = 0 или х = ( нашли х из равенства ); 3)если  а = 1, то х 0; 4) если а =-1, то -1 х 0.

        Ответ: при   х = 1; при �1<a<1   х = 0 или х = ;

                    при а = 1   х 0;   при а = -1   -1  х 0.

    Пример 3. При каких а уравнение (х²  - а)²  - 6х² + 4х + 2а = 0 имеет ровно три решения.

        Решение.

Попробуем построить график уравнения в системе координат Хоа, а для этого запишем его как квадратное относительно а:

,

.

Выразим из этого уравнения а.

D=4(1 - х²)²  - 4(х⁴ - 6х² + 4х) = 4 - 8х²  + 4х⁴  - 4х⁴  + 24х²  - 16х = 16х² - 16х + 4 = 

= (4х-2)² 0.

а₁= , а₂= .

   Итак, а = х² - 2х  или а = х² + 2х - 2.

   Построим график данного уравнения - то есть построим график совокупности двух уравнений: .

   Будем пересекать теперь график уравнения прямыми, перпендикулярными оси Оа. Из чертежа видно, что только две прямые пересекают график уравнения в трех точках (а значит, уравнение имеет три корня); это будет в том случае, когда а = -1 или а = - ( а = -  получили из того, что две кривые пересекаются, то есть   х² + 2х � 2 = х² - 2х  при х = , а тогда  а = - ).

       Ответ: а = -1 или а = - .

Следующая станица>>