1

В.П.Василенков, Р.С. Златин, А.В. Дюндин

Раздел 1. Уравнения

§ 1.4. Уравнения с параметрами.

6. Квадратный трехчлен и параметры

Квадратный трехчлен в школе можно назвать главной функцией всей математики 8-9 классов, а также всей школьной математики.

Особую роль среди уравнений с параметрами играют задачи, связанные с расположением корней квадратного трехчлена. Для решения таких задач можно сформулировать теоремы, но, однако, количество таких теорем будет практически необозримо. И остается только одно- научиться придумывать теорему каждый раз, в каждой конкретной задаче. Для придумывания таких теорем нужно не только знание свойств квадратного трехчлена, но и умение мыслить одновременно на двух языках - алгебраическом и геометрическом.

Это значит, что для любого свойства, сформулированного на алгебраическом языке, нужно уметь дать геометрическую интерпретацию на графике, и наоборот. Например:

· старший коэффициент меньше нуля - значит ветви параболы направлены вниз;

· график функции у = ах²+ bх + с находится выше оси абсцисс- значит а>0, b²- 4ac < 0 и т. д.

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения х²+ (а + 1)х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2?

Решение.

Построим график квадратного трехчлена, удовлетворяющий данному условию. Если потребовать, чтобы f(2) < 0, где f(x) = x ²+ (a + 1)x + 3, то отсюда будет следовать, что корни уравнения существуют и лежат по разные стороны от числа 2. Верно и обратное, то есть справедлива следующая теорема.

Теорема. Для того, чтобы корни квадратного уравнения х²+ рх + q = 0 лежали по разные стороны от числа к необходимо и достаточно, чтобы f(k) < 0.- вот одна из таких теорем.

В нашем случае f(2) = 4 + 2(а + 1) + 3 = 2а + 9, 2а + 9 < 0, а < -4.5.

Ответ: а < -4.5.

Пример 2. Найти все а, при которых корни уравнения х²+ х + а = 0 различные и оба больше а.

Решение.

Дадим геометрическую интерпретацию поставленной задачи (рис.9). Очевидно, что если f(a) > 0, х_в> a и D > 0, то оба корня действительно различны и оба больше а. Ни одно из условий не является лишним.

Например, если отбросить условие D > 0, то возможна ситуация (см. рис. 10) и корней вообще нет, хотя f(a) > 0, x_в> а.

Если отбросить условие f(a) > 0, то возможна ситуация (см. рис.11) и один корень меньше а, другой больше a, хотя D > 0 и х_в> а.

Если отбросить условие х_в> а, то возможна ситуация (см. рис. 12) и корни уравнения меньше а, хотя D > 0 и f(a) > 0.

Теорема. Для того, чтобы корни уравнения х²+ рх + q = 0 были различны и оба больше к необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

В нашем примере f(a) = а²+ а + а = а²+ 2а, D = 1 - 4а, х_в= - .

Получаем систему неравенств.

Систему решаем методом интервалов (рис. 13).

Ответ: а .

Пример 3. Найти все значения параметра р, при которых корни уравнения х²+ (р + 1)х + р = 0 принадлежат промежутку (-2;3).

Решение.

Дадим геометрическую интерпретацию этой задачи (см. рис.14).Очевидно, что если f(-2) > 0, f(3) > 0, D , -2 < х_в< 3, то корни уравнения принадлежат промежутку (-2;3). Верно и обратное.

Итак, в нашем случае f(-2) = 4 - 2(p + 1) + p = 2 - p,

f(3) = 9 + 3(p + 1) + p = 12 + 4p,

D = (p + 1)²- 4p = (p - 1)² ,

Итак, имеем систему неравенств:

или

Ответ: -3 < p < 2.

Пример 4. При каких а уравнение (1 + 2а)х⁴- 2ах²+ (1 + а) = 0:

1) не имеет действительных корней;

2) имеет один корень;

3) имеет два корня;

4) имеет три корня;

5) имеет четыре корня.

Решение.

Введем новую переменную у = х². Тогда заданное уравнение равносильно уравнению (1 + 2а)у²- 2ау + (1 + а) = 0, где у = х².

Изложим схему исследования.

1. Уравнение (1 + 2а)у²- 2ау + (1 + а) = 0 , где у = х² не имеет решений в трех случаях:

1) D = (2а)²- 4(1 + а)(1 + 2а) < 0,

2) D 0 и у₁< 0, у₂< 0 (оба корня левее нуля),

3) а = - (тогда у = - ).

2. Система имеет один корень:

1) D = 0, у₁= у₂= 0,

2)D > 0, у₁< 0, у₂= 0.

3. Система имеет два корня в случаях:

1)D = 0, у₁= у₂> 0;

2)D > 0, у₁< 0, у₂> 0 (корни находятся по разные стороны от нуля.)

4. Система имеет три корня, если D > 0, у₁> 0, у₂= 0.

5. Система имеет четыре корня, если D > 0, у₁> 0, у₂> 0 (оба корня правее нуля.)

Дальнейшее исследование проводится аналогично предыдущим случаям. Получите решение самостоятельно!

7. Теорема Виета и параметры.

Многие уравнения с параметрами связаны с использованием теоремы Виета. При этом важно понимать, что теорема Виета в школьном курсе формулируется только для случая, когда существуют действительные корни уравнения, в противном случае можем получить ошибочный ответ (см. пункт 4 примеров 1 и 2).

Приведем некоторые примеры, в которых используется теорема Виета.

Пример 1. При каких а разность корней уравнения 2х²- (а + 1)х + (а - 1) =0 равна их произведению?

Решение.

Прежде всего заметим, что теорема Виета применима при любом а, так как

D = (а + 1)²- 8(а - 1) = а²- 6а + 9 = (а - 3)² 0.

По теореме Виета и кроме того х₁-х₂= х₁х₂,

тогда х₁= , х₂= .

Тогда , а = 2.

Ответ: а = 2.

Пример 2. Найти наименьшее значение выражения х₁²+ х₂², если х₁ и х₂ – корни уравнения х²- 2ах + а + 6 = 0.

Решение.

По теореме Виета х₁+ х₂= 2а,

х₁х₂= а + 6.

Тогда х₁²+ х₂²= (х₁+ х₂)²- 2х₁х₂= 4а²- 2а - 12.

Казалось бы, мы должны найти наименьшее значение выражения 4а²- 2а - 12, а оно достигается в вершине параболы у = 4а²- 2а - 12,

, и а = .

На самом деле мы опять допускаем ту же ошибку, т. е. если подставить в уравнение, то оно не имеет решений. Поэтому мы должны найти, при каких а теорема Виета применима, то есть D = 4а²- 4а - 24 0.