<<Предыдущая страница.

В.П.Василенков, Р.С. Златин, А.В. Дюндин

Раздел 1. Уравнения

� 1.4. Уравнения с параметрами.

3.     Первое знакомство с уравнениями, содержащими параметры.

Начнем с простых примеров.

Пример 1. Решить уравнение ах = 3.

Допустимыми значениями для а и х являются любые действительные числа. На первый взгляд можно сразу дать �ответ�: х = .

Однако это не так; если а = 0, то уравнение принимает вид 0 � х = 3 и очевидно, что решений оно не имеет. Поэтому верный ответ выглядит следующим образом:

         Ответ: если а = 0, то решений нет;

           если а 0, то х = .

Пример 2. Решить уравнение (а²  - 6а + 5)х = а - 1.

Решение.

Выясним вначале, при каких а коэффициент при х обращается в ноль:

а²  - 6а + 5 = 0, а₁ = 1; а₂ = 5. Нетрудно сообразить, что для решения этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:

1)     а = 5, тогда уравнение примет вид 0 � х = 4 и не имеет решений;

2)     а = 1, тогда получаем: 0 � х = 0 и, очевидно, х - любое число;

3)     а 1 и а 5, имеем х = .

       Ответ: если а = 1, то х- любое;

                   если а=5, то нет решений;

                   если а 1 и а 5,то х= .

Пример 3. Решить уравнение (а² - 1) = а - b.

Решение.

Это уравнение с двумя параметрами а и b. Необходимо рассмотреть случаи:

1)     а  и а ; тогда х = ;

2) а = 1; тогда уравнение имеет вид 0 � х = 1 � b  и возможны подслучаи:

                                        2*) если b = 1, то уравнение принимает вид 0�х = 0 и х - любое;

                                        2**) если b , то решений нет.

3) а = -1; тогда уравнение принимает вид: 0 � х = -1 - b, и опять возможны подслучаи:

                                      3*) если b = -1, то х - любое;

3**) если b , то решений нет.

Ответ: если а , то х = ;

            если а = 1 и b = 1 или а = -1 и b = -1, то х - любое;

            если а =  и b , то решений нет.

Пример 4. Решить уравнение

                              .

По смыслу уравнения m  Умножим обе части на  (m-1)(x+3).

3mx - 5 + (3m-11)(x+3) = (2x+7)(m-1),

(4m - 9) х = 31 - 2m.

Возможны случаи:

1)     если m = , то получаем 0 � х = 31- 4.5; очевидно, решений нет;

2)     m , то х= .

Внимание!

        Казалось бы, мы рассмотрели все случаи и уже можно записать ответ. Однако это не так! Нужно еще исключить те допустимые значения для m, при которых х =  = -3, т. е. m = -0.4.

        Ответ: если m  то х = ;

                  если m =  или m = -0.4, то уравнение решений не имеет;

                  если m = 1, то уравнение не имеет смысла.

4.     �Коварство�  параметров

       В этом пункте мы хотим указать на необходимость осторожного обращения с фиксированным, но неизвестным параметром. Мы покажем на некоторых поучительных примерах, какое �коварство� проявляет параметр.

   Пример 1. При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения 4х² - 28х + а = 0 равна 22.5?

Решение.

  Эта задача встречалась на вступительных экзаменах в СГПУ.

  Сначала рассмотрим �решение�, которое предложили многие абитуриенты.

  Имеем х₁² + х₂² = (х₁+х₂)² - 2х₁х₂ = 49 - .

  Поскольку х₁² + х₂² = 22.5, то получали �ответ� а = 53.Однако если подставить а = 53, то исходное уравнение вообще решений не имеет.

  Это одна из �популярнейших� ошибок, связанных с применением теоремы Виета. Нельзя вести речь о корнях, предварительно не выяснив, существуют они или нет. Так, в данном примере корни существуют, если D , то есть а .

      Ответ: таких а нет.

  Пример 2. Найти ошибку в следующих рассуждениях: �Любое уравнение вида  имеет действительные корни при любых значениях параметров р и q.� ( Софизм - мы знаем, что это не так).

�Доказательство�.

Так как х₁ + х₂  = -р,  а    х₁х₂  = q (по теореме Виета), то   

D = р² - 4q = (х₁ + х₂)²  -  4х₁х₂  = х₁²  + х₂²  - 2х₁х₂  = (х₁ - х₂)² ,

а тогда квадратное уравнение имеет решение.

Мы считаем, что ученик должен теперь сам найти ошибку в этом доказательстве.

Пример 3. При каких а уравнение ах² - (а + 1)х + 3 = 0 имеет единственное решение?

Решение.

В формулировке не идет речь о квадратном уравнении, поэтому вначале учтем, что при а = 0 уравнение становится линейным и имеет одно решение. Если а , то уравнение становится квадратным, и поэтому оно будет иметь единственное решение, если D = 0, то есть

(а + 1)²  - 12а = 0,

а² + 2а + 1 - 12а = 0,

а² - 10а + 1 = 0,

    а₁ = 5 - 2 , а₂ = 5 + 2 .

     Ответ: при а = 0, а = 5 - 2   и  а = 5 + 2  уравнение имеет одно решение.

Пример 4. При каких а уравнение (а - 2)х²  -  (4 - 2а)х + 3 = 0 имеет единственное решение?

Решение.

Естественно начать со случая а = 2. Но при а = 2 исходное уравнение вообще не имеет решений, так как оно принимает вид 0 � х + 3 = 0.

Если а , то уравнение � квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра- это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при а = 2 или а = 5. Поскольку мы установили, что а = 2 не подходит, то остается а = 5.

     Ответ: а = 5.

Последние два примера показывают свое �коварство�, особенно для начинающих. Обычно начинающие в примере 2 теряют случай, когда а = 0, а в примере 3 наоборот, приобретают одно лишнее а = 2.

 Рассмотрим еще несколько примеров, где параметр �расставляет ловушки�.

Пример 5. При каких m уравнение m(m - 2)x² + (2m - 4)x - 3m + 6 = 0 имеет более одного корня?

Решение.

Начнем со случаев m = 0 и m = 2.

Если m = 0, то уравнение принимает вид: -4х + 6 = 0 и имеет единственное решение.

Если m = 2, то получаем 0х²  + 0х + 0 = 0   - х � любое число.

Если m  и m , то, поделив обе части уравнения на m - 2, получим: mх²+2х-3 = 0.

Дискриминант этого уравнения 4 + 12m > 0, если m > .

При записи ответа нужно не забыть включить m = 2 и исключить m = 0.

    Ответ: m = 2, или -  < m <0, или m > 0.

Пример 6. При каких m уравнение  = 0 имеет единственное решение.

Решение.

Наличие квадратного трехчлена, естественно, приведет к поиску дискриминанта уравнения   х² + mх + 9 = 0.

�Тонкий момент� заключается в том, что квадратное уравнение

х² + mх + 9 = 0

может иметь два различных решения, тем не менее, данное уравнение может иметь и один корень, в том случае, когда один из корней квадратного трехчлена равен 2, а другой отличен от двух (тогда множитель х - 2 сократится).

Найдем, при каком m число 2 является корнем уравнения

                                     х² + mх + 9 = 0.

Это будет тогда, когда 2² + 2m + 9 = 0, m = - .

Итак, при m = -  уравнение х² -  х + 9 = 0 имеет х₁ = 2 своим корнем,

второй корень х₂ = , и данное уравнение имеет единственный корень х = . Кроме того, данное уравнение имеет единственное решение, если дискриминант числителя D = 0, то есть m²  - 36 = 0, откуда m = 6 ( причем этот корень отличен от числа 2).

     Ответ: m = 6 или m = - .

 Пример 7. Выяснить, при каких р уравнение рх ^-2+х² = -2 имеет два решения.

Решение.

 Приведем сначала �решение�, которое предлагают иногда учащиеся.

� Запишем уравнение в виде . Отсюда х⁴ - 2х² + р = 0, получили биквадратное уравнение. Обозначим х² = t.

 Тогда получим квадратное уравнение t² - 2t + p = 0.

 Единственное решение это уравнение имеет, если D = 0, то есть  4 - 4р = 0, отсюда р = 1. Но в этом случае уравнение t²  - 2t + 1 = 0 имеет единственный корень t = 1, тогда данное - два корня х²  = 1, х₁ = 1, х₂ = -1. Ответ: р = 1.�

В чем же ошибочность данного решения?

Во-первых, ученик не учел случай, когда р = 0. Уравнение примет вид х² = 2, х₁ = , х₂ = - - два решения.

Во-вторых, если р < 0, то уравнение , t² - 2t + p = 0 имеет два корня, но только один из них положительный, поэтому, приравнивая этот положительный корень к х², мы снова получим два корня у данного уравнения.

Ответ: р 0 или р=1.

Итак, как показывают эти примеры, при решении уравнений с параметрами у учащегося всегда должна присутствовать мысль: а не попался ли я на �ловушку�. Поэтому решая уравнения с параметрами, нужно быть достаточно осторожным с параметрами, еще и еще раз проверить решение, и только после этого записать ответ.

Далее будут приведены некоторые общие методы решения уравнений с параметрами, которые могут быть использованы и при решении уравнений в старших классах.

Следующая станица>>