<<Предыдущая страница.

� 1.4. Уравнения с параметрами.

                                                                             Параметры? �Это трудно!

                                                                                           Неизвестный школяр

                                                                             Параметры?.. Это интересно!

                                                                                           Математик-фанатик

                                                                              Самое   прекрасное   и  глубокое

                                                                        переживание, выпадающее на долю

                                                                        человека, - это  ощущение  таинст-  

                                                                        венности� Тот, кто не испытывал 

                                                                        этого ощущения, кажется мне если 

                                                                        не мертвецом, то во всяком случае 

                                                                        слепым.

                                                                                              А.Эйнштейн

1.               Вводные замечания.

       Потребность развития математических способностей у учащихся, все большее использование уравнений с параметрами в практике итоговых и вступительных экзаменов определяют необходимость внедрения задач с параметрами в содержание школьного курса математики. На вопрос, с какого класса следует включать уравнения с параметрами в школьный курс, однозначный ответ дать нельзя, но ясно и другое - чем раньше, тем лучше.

Известно, что в программах по математике задачам с параметрами отводится незначительное место. Укажем некоторые разделы общеобразовательной математики, в которых вообще существует идея параметра:

�     линейная функция у = кх + b (х и у переменные; к и b- параметры);

�     линейное уравнение ах + b = 0 (х- переменная; а и b- параметры);

�     квадратное уравнение ах²  + bх + с = 0 (х - переменная; а,b и с- параметры; а  0).

К задачам с параметрами в школьном курсе можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде; исследование числа корней в зависимости от значений параметра

Естественно, чтобы усвоить методы решения уравнений с параметрами этих задач недостаточно.

Данное пособие уделяет большое внимание методам решения уравнений с параметрами. Хотя оно предназначено для учащихся 8-9 классов, его могут использовать и учащиеся старших классов, по мере изучения новых видов уравнений (тригонометрических, показательных, логарифмических). Оно будет также полезным и для учащихся, готовящихся к итоговым и вступительным экзаменам по математике.

2.     Основные понятия.

Рассмотрим уравнение в общем виде f (а, b, �, к, х) = 0.

Любая система значений (а,b,�,к,х), при которой уравнение имеет смысл, называется областью допустимых значений переменных а, в, �, к, х.

Например, а² + х -  = 0,  - в этом уравнении допустимыми значениями для а, b, с  и х являются любые действительные числа, кроме тех, для которых

с < 0.

Если зафиксировать а, b, с, �, к,  то получим уравнение с одним неизвестным. Это уравнение может как иметь решение, так и не иметь его. В данном примере , если взять а = 0, b = 1, с = 1, то х = 1, а если взять а = 0, b = 0, с = 1, то уравнение, очевидно, решений не имеет.

Переменные а, b, �, к,  которые при решении уравнений остаются постоянными, называются параметрами, а сами уравнения называются уравнениями с параметрами.

Решить уравнение с параметрами - значит указать, при каких допустимых значениях параметров существуют решения, выяснить их число, каковы они; кроме того, обычно при решении уравнений с параметрами необходимо выяснить, при каких допустимых значениях параметров решений нет.

Следующая станица>>