<<Предыдущая страница.

В.П.Василенков, Р.С. Златин, А.В. Дюндин

Раздел 1. Уравнения

� 1.3. Уравнения, содержащие модуль, или

что такое модуль и как с ним бороться

 Многие, которым никогда не представлялось случая

узнать более математику, смешивают ее с арифметикой

и считают ее наукой сухой. В сущности же это наука,

требующая наиболее фантазии, и один из первых 

математиков нашего столетия говорит совершенно верно,

что нельзя быть математиком, не будучи в то же время 

и поэтом в душе.  

        С.В.Ковалевская (отрывок из письма) 

       Модуль традиционно является камнем преткновения, своеобразным �ослиным мостом� в математике. На самом деле это понятие становится прозрачным, если, раскрывая модуль по определению, не забывать его геометрический смысл. Тогда становится понятным, не искусственно навязанным и само определение модуля и решение различных задач, связанных с ним. При этом,  конечно, лучше если у вас развито пространственное воображение и, глядя на знак модуля, Вы представляете соответствующую геометрическую картинку, и наоборот.

        Вообще занятия математикой требуют недюжинного воображения и фантазии. Недаром кто-то из великих сказал: �Математику можно сравнить с красивой женщиной. Ее можно любить, но с нею постоянно приходится ругаться�. (Как Вы думаете, что он имел ввиду?) Желаем Вам при изучении данной темы поменьше сталкиваться с �капризами� математики.

1.Определение, геометрическая интерпретация и некоторые свойства модуля.

        Определение. Модулем неотрицательного числа называется само это число, модулем отрицательного числа � число, ему противоположное.

   Геометрически модуль числа  a  означает расстояние на числовой прямой от точки с координатой a  до начала отсчета, выраженное в единичных отрезках. Условимся расстояние между объектами  A и B обозначать   ρ , тогда   ρ

       Рассмотрим более подробно выражение вида  По определению

Но если x > a, то  x - a = ρ  

если  x = a, то  x - a = 0 = ρ ,

и если x < a, то  a - x = ρ .

Во всех трех случаях  ρ .

2. Свойства модуля.

а) Так как ρ  = ρ , то  = .

б) ,  b .

   Для доказательства достаточно рассмотреть три случая :

1)       a и b имеют разные знаки;

2)       a  и  b  имеют одинаковые знаки;

3)       одно из чисел � a или b  равно нулю (во втором равенстве только a=0).

   Следствие: .

  Действительно, . Так как a² , то 

3.Уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля.

   Пример 1.    .

         Так как  , то  x³  Это означает, что x , а, следовательно, Тогда из исходного уравнения следует:

                                         x³  - x = 0,

x₁= -1;  x₂ = 0,  x₃ = 1.

Но  1 > 0 и, следовательно, является �лишним� корнем.

       Ответ: }.

  Пример 2.

но 

тогда х может принимать значения 4 и �4.                                

Непосредственной подстановкой проверяем корни.

      Ответ: .

  Пример 3.   

      Из уравнения видно, что корень уравнения должен удовлетворять требованию x > 3, следовательно,

  и  ,

тогда x � 2 + x � 1 = x � 3

или   x=0,

но т.к. x > 3, то 0 � лишний корень.

     Ответ: уравнение не имеет корней.

     Это уравнение можно решить другим способом  (геометрическим):

(x; 2),

  ,

 т.к. x > 3, то  x � 3 = .

Тогда исходное уравнение можно интерпретировать геометрически

  = (x; 2) + (x; 1) = (x; 3).

      Но если число находится на числовой оси правее 3, то сумма расстояний от него до 1 и 2 всегда больше расстояния от него до числа 3.

Пример 4.  .

     Раскроем модуль в выражении :

         Первые два случая можно объединить в один:  x          

         Разобьем числовую ось на два промежутка   и

   1)    x , тогда   и уравнение принимает вид:

                        2

                          .

        Геометрически это означает, что x удовлетворяет условию:

(1; x) = (x; 0), т.е. корень уравнения находится посередине между 1 и 0. Следовательно,  x = .

  2)    x  тогда  и уравнение принимает вид:

,

т.е. (x; 2) =  (x; 0).

Числом, равноудаленным от 2 и 0, является 1, но 1 не может быть корнем уравнения, так как 1

        Ответ: .

        Разберем два примера, в которых используется свойство модуля  Отметим, что если a , то уравнение  и x² = a² равносильны.

   Пример 5.

   =25

               x₁ = - 1,  x₂ = 4.

       Ответ:

   Пример 6.   

Так как ² = х², то

2х²-6 = 2 ²-6.

      Сделаем замену переменной  = t > 0.

,

2t² - 6 = t²+2t-3  и  t ,

t²  -2t � 3 = 0,

t₁ = -1, t₂  = 3,

но  �1< 0 , следовательно, �лишний корень�.

Делаем обратную замену переменной.

,

х₁ = -3; х₂ = 3.

      Ответ: {-3; 3}.

  Пример 7. ,

.

     Так как  то для того, чтобы сумма расстояний от числа до �2 и 3 была равна 5, необходимо и достаточно, чтобы оно лежало в промежутке .

      Ответ: .

  Пример 8.

,  .

      Отметим числа 1 и �4 на числовой оси. Так как , то для того, чтобы сумма расстояний от искомого числа х₀ до �4 и 1 была равна 10, необходимо, чтобы оно лежало вне отрезка [-4;1].

      Пусть х₀ лежит правее этого отрезка. Обозначим  = t, тогда 

                                                        = t + 5.

Так как , то

t + t + 5 = 10,

2t = 5,

t = 2.5,

следовательно, х₀ = 1 + 2.5 = 3.5.

Аналогично находим корень уравнения, лежащий левее отрезка [-4;1]:

-4-2.5 = -6.5.

       Ответ: {-6.5; 3.5}.

   Следующий метод - деление на промежутки ОДЗ уравнения. Этот метод является наиболее универсальным, хотя и не всегда рациональным.

   Пример 9.

        Разобьем числовую ось на четыре промежутка:  и решим уравнение на каждом из них.

1)                 х , тогда =х²-9 и =2-х.

Уравнение примет вид:

х² � 9 + 2 � х = 5,

х² � х � 12 = 0,

х₁ = -3 , х₂ = 4 .

Корень уравнения: -3.

2)                 х , тогда =9-х² и  = 2 - х.

9 - х²  + 2 � х = 5,

х² + х � 6 = 0,

х₁ = -3 , х₂ = 2 .

Корней нет.

3)                 х , тогда  = 9 - х² и  = х - 2.

9 - х²  + х � 2 = 5,

х² � х � 2 = 0,

х₁ = -1 , х₂ = 2 .

Корень уравнения: 2.

4)                 х , тогда = х²  - 9  и = х - 2.

х² � 9 + х � 2 = 5,

х²  + х � 16 = 0,

х₁= , х₂= .

Корень уравнения: .

          Ответ: {-3; 2; }.

     Пример 10. При каком значении а уравнение  не имеет решения?

         Так как ,

                  то ,

поэтому, если а < 8, то уравнение не имеет решения.

        Ответ: .

Упражнения.

      Решите уравнения.

3.1. .

3.2.

3.3.

3.4.  

3.5. х²  + 2х - 3  + 3 = 0.

3.6.

3.7. х²  - 4  + 3 = 0.

3.8. 3( )²  = 6(х+1)²  + .

3.9.

3.10. При каких значениях а уравнение  имеет бесконечное число корней?

Рис.3.

Следующая станица>>