<<Предыдущая страница

В.П.Василенков, Р.С. Златин, А.В. Дюндин

 Раздел 1. Уравнения

 § 1. 2. Рациональные уравнения.

 2.       Целые алгебраические уравнения степени выше двух,

решаемые с помощью подбора корней.

   Пусть х₀- корень алгебраического целого уравнения , тогда многочлен, стоящий в левой части уравнения можно разложить на множители, один из которых равен х - а. Очевидно, получившееся уравнение будет равносильным исходному.

   Пример 14. 5х³ - 3х² - 3х + 1 = 0.

Непосредственной  подстановкой можно убедиться, что х₀ = 1 является корнем уравнения, значит, многочлен, стоящий в левой части уравнения, можно разложить на множители, одним из которых будет х - 1. Сгруппируем слагаемые с целью выделить этот сомножитель.

(5х³ - 5х²) + (2х² - 2х) - (х - 1) = 0,

5х² (х - 1) + 2х (х - 1) - (х - 1) = 0,

(х - 1) (5х²  + 2х - 1) = 0,

х₁ = 1 или  5х²  + 2х – 1 = 0,

D/4 = 1+5 = 6,

х₂ =  ; х₃ = .

       Ответ: {1; ; }.

   В разобранном примере мы методом подбора смогли найти один корень, но этого оказалось достаточным, чтобы, разложив левую часть уравнения на множители, мы могли найти все остальные корни уравнения.

   Однако не всегда удается быстро подобрать корень уравнения. Следующие теоремы облегчают эту задачу.

   Теорема 1.  Если х = к, где к - целое число, отличное от нуля, есть корень целого рационального алгебраического  уравнения

с целыми коэффициентами, то свободный член этого уравнения делится без остатка на этот корень.

Доказательство.

   По условию х = к  - корень уравнения; тогда            , откуда находим, что . Так как все коэффициенты и к-целые числа, то после вычислений в круглых скобках получим целое число, которое обозначим   = - m. Из предыдущего следует, что а₀ = к m, то есть а₀ делится без остатка на к.

   Следствие. Целыми корнями целого рационального алгебраического уравнения с целыми коэффициентами могут быть только делители свободного члена уравнения.

Целое рациональное алгебраическое уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен 1, то есть оно имеет канонический вид .

   Теорема 2. Целое рациональное приведенное алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами не может иметь дробных корней.

Доказательство.

Пусть х₀ =  (где - несократимая дробь) корень уравнения

.

Тогда должно иметь место равенство

.

Умножив обе части этого равенства на q^n-1  0, получим

.

   Но  - несократимая дробь, а выражение в скобке- целое число. Сумма  несократимой дроби и целого числа не может быть целой. Значит, допущение неверно, то есть теорема остается верной.

    Из теорем 1 и 2 следует, что если в целом рациональном приведенном алгебраическом уравнении с целыми коэффициентами ни один из делителей свободного члена не является корнем уравнения, то это уравнение не имеет рациональных корней.

    Пример 15.  х³ - х² - 8х + 6 = 0.

Выпишем делители свободного члена: 1, 2, 3, 6. Проверкой убеждаемся, что 3 - корень уравнения. Разложим на множители левую часть уравнения:

(х³ - 3х²) + (2х² - 6х) - (2х - 6) = 0,

х² (х - 3) + 2х (х - 3) - 2(х - 3) = 0,

(х - 3) (х²  + 2х - 2) = 0,

х₁ = 3 или х²  + 2х – 2 = 0,

х₂ = -1 - ,  х₃ = -1 + .

       Ответ: {-1- ; 3; -1+ }.

   Теорема 3. Любое целое рациональное алгебраическое уравнение с рациональными коэффициентами можно преобразовать в целое рациональное приведенное алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами.

Доказательство.

   Пусть дано уравнение  (r₀ 0), где r_n, r_n-1,…, r₁, r₀  - рациональные числа.

   Умножив обе части на наименьшее общее кратное знаменателей дробных коэффициентов, получим уравнение с целыми коэффициентами

, где а_n 0.

   Заменив х на , получим

Обе части этого уравнения умножим на :

.

   Полученное уравнение относительно t является целым рациональным приведенным алгебраическим уравнением с целыми коэффициентами.

   Пример 16. 2х³  + 7х²  - 28х + 12 = 0.

Сделаем замену переменной х = , тогда , (умножим уравнение на 4).

t³  + 7t²  - 56t + 48 = 0.

1 является корнем уравнения.

(t³ - t²) + (8t²  - 8t) - (48t - 48) = 0,

(t - 1) (t²  + 8t - 48) = 0,

t₁ = 1, t₂ = -12, t₃ = 4.

Так как х = , то х₁ = , х₂ = -6, х₃ = 2.

         Ответ: { -6; ; 2}.

   Уравнение из примера 16 можно было решить, не сводя его к приведенному. Для этого достаточно воспользоваться следующей теоремой. (Попробуйте доказать ее сами).

   Теорема 4. Для того, чтобы рациональное число х = , где p и q – взаимно простые числа, было корнем уравнения   с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы p было делителем свободного члена а₀, а q- делителем старшего коэффициента а_n.

   Так, в уравнении 2х³  + 7х²  - 28х + 12 = 0 рациональные корни следует искать из чисел  1, 2, 3, 4, 6, 12, , .

Подбором можно найти корень  и разложить левую часть уравнения на множители, выделяя  в качестве одного из множителей.

(2х³ - х²) + (8х² - 4х) - (24х - 12) = 0,

х² (2х - 1) + 4х (2х - 1) – 12 (2х - 1) = 0,

2 (х - ) (х² + 4х - 12) = 0,

х₁ = , х₂ = -6, х₃ = 2.

     Ответ: {-6; ; 2}.

Упражнения

Решите уравнения.

2.1.

2.2.

2.3. 2001х²  - 2000х – 1 = 0.

2.4. х⁴  + 4х³  - 10х²  - 28х – 15 = 0.

2.5. х⁴ + 5х³ - 12х² + 5х + 1 = 0.

2.6. Пусть в возвратном уравнении коэффициенты, равноотстоящие от концов многочлена, стоящего в левой части уравнения, равны. Докажите, что если х₀  -  корень этого уравнения, то - тоже корень этого уравнения.

2.7. х⁴  - 3х³  - 8х²  - 12х  + 16 = 0.

2.8. (х +1)(х + 3)(х +5)(х +7) = 0.

2.9. (х²  + х + 1)(х²  + х + 2) = 12.

2.10. (х + 5)⁴  + (х + 3)⁴  = 2.

2.11. х²  +

2.12.

2.13

2.14. х³-х²-8х+12=0.

2.15. х ⁵  - х⁴  -3х³  + 5х²  - 2х = 0.

2.16. 22х³  - 54х²  + 36х – 8 = 0.

2.17. 2х⁴  + х³  - 49х²  + 96х – 36 = 0.

Следующая станица>>