<<Предыдущая страница

В.П.Василенков, Р.С. Златин, А.В. Дюндин

Раздел 1. Уравнения

 � 1. 2. Рациональные уравнения.

                                             2.Уравнения, приводимые к квадратным или

простейшим кубическим уравнениям.

   2.6. Уравнения вида .

   Уравнения этого вида приводятся к квадратному, если a+b = c+d  (или a+c = b+d, или a+d = b+c).

   Пример 11.  (х + 2)(х - 3)(х + 1)(х + 6) =  - 96.

Так как 2 +1 = -3+6, то можно сгруппировать множители левой части так:

[(x + 2)(x + 1)][(x - 3)(x + 6)] =  -96,

или (х² + 3х + 2)(х² + 3х - 18) =  -96.

Обозначим х²  + 3х = t, тогда относительно t получим

(t +2)(t - 18) = -96, или t²  - 16t + 60 = 0,

 откуда находим t₁ = 6, t₂ = 10. Решая совокупность уравнений                         

                            х² + 3х = 6 и х²  + 3х = 10,

находим окончательное решение.

         Ответ: { ; ; -5; 2}.

     Однако уравнение данного типа можно решать и другим способом. Рассмотрим это на предыдущем примере. Обозначим точки с координатами х +2, х -3, х +1 и х + 6 на числовой оси.

                                               Рис.2.

      В силу равенства 2+1= -3+6 они располагаются симметрично с центром симметрии в точке х+ .

      Сделаем замену переменной х +  = t,

тогда     х � 3 = t - ;

              x +1 = t - ;

              x + 2 = t +  и

              x + 6 = t + ,

тогда относительно t получим уравнение

(t + ) ( t - ) ( t+ ) ( t + ) =  -96,

(t²  - ) (t²  - ) =  -96.

   Повторной заменой переменной z = t²  сводим уравнение к квадратному.

 Следующая страница>>