<<Предыдущая страница

В.П.Василенков, Р.С. Златин, А.В. Дюндин

Раздел 1. Уравнения

 � 1. 2. Рациональные уравнения.

                                              2.Уравнения, приводимые к квадратным или

простейшим кубическим уравнениям.

2.5. Возвратные уравнения четвертой степени.

   Будем называть возвратными целые рациональные уравнения четвертой степени, которые делением на х² приводятся к предыдущему случаю.

   Пример 9.  2х⁴  + 3х³ - 16х²  + 3х + 2 = 0.

       Можно заметить, что в данном уравнении равны коэффициенты при х⁴ и х⁰, х³ и х¹. Учитывая, что х = 0 не является корнем этого уравнения, разделим обе его части на х².

,

Т.о. уравнение свелось к предыдущему случаю. Решая его, мы получим четыре действительных корня.

      Ответ: { ; ; ; 2}.

   Попытаемся выяснить условие, при котором решение уравнения ах⁴  + bх³  + сх²  + dx + е = 0 ( ; b ) приводится к решению квадратного уравнения  способом деления на х².

   Разделив обе части уравнения на х², получим

,

,

.

   Обозначим  = t, тогда ( )²  = t², откуда следует . Если , то . Данное уравнение относительно t принимает вид , или , то есть его решение приводится к решению квадратного уравнения.

   Итак, решение уравнения ах⁴ + bх³ + сх² + dx + е = 0 ( ; b ) приводится к решению квадратного уравнения делением на х², если  .

   В некоторых пособиях возвратными называют только уравнения вида

ах⁴  + bх³  + сх²  + dx + е = 0 ( ; b ),

 где e = a  и b = d.

   Пример 10. 2х⁴  - 21х³  + 74х²  - 105х + 50 = 0.

Проверим условие   .  и , 25 = 25, следовательно, данное уравнение решается как возвратное, то есть делением на х².

,

.

Обозначим  = t, тогда  = t²  - 10 и относительно t уравнение примет вид:

                                2t²  - 21t + 54 = 0, t₁ =  ; t₂ = 6.

Если  t₁ = , то х₁ = 2; х₂ = 2.5.

Если  t₂ = 6, то х₃ = 1; х₄ = 5.

        Ответ: {1; 2; 2,5; 5}.

Следующая страница>>