<<Предыдущая страница

В.П.Василенков, Р.С. Златин, А.В. Дюндин

 Раздел 1. Уравнения

 � 1. 2. Рациональные уравнения.

                                                           2.     Уравнения, приводимые к квадратным или

простейшим кубическим уравнениям.

2.3.  Уравнения третьей и четвертой степени, решаемые с помощью выделения полного куба или квадрата.

   Вспомним формулу полного куба двучлена:

(a + b)³ = a³  3a²b  3ab²  b³.

     Ранее было показано, что уравнения f (x) = g(x)  и f ⁿ  (x) = g ⁿ (x) равносильны, если n - нечетное число. В частности,

f (x) = a  f ³ (x) = a ³,

где а - некоторое число.

     Учитывая, что , можно записать

f ³ (x) = b  f (x) = .

   Пример 3.  27х ³ + 54х ² + 40х + 10 = 3 + 4х,

                           27х ³  + 54х ²  + 36х + 8 = 1,

                           (3х) ³  + 3�2�9х²  + 3�4�3х + 2 ³ = 1,

                           (3х + 2)³ = 1,

                           3х +2 = 1,

                            х = - .

       Ответ: .

   Пример 4.     5х³ - 12х ²  + 6х � 1 = 0,

                              8 х ³  - 3х ³  - 3� (2х) ²  �1 + 3�2х�1²  - 1³  = 0                        

                              (2х) ³   - 3� (2х) ²  �1 + 3�2х�1²  - 1³  = 3х ³,

                               (2х - 1) ³  = ( ) ³ ,

                               2х � 1 = ,

                                х (2 - ) = 1,

                                х = .

        Ответ: х = .

Некоторые уравнения четвертой степени сводятся к квадратным с помощью выделения полного квадрата.

   Пример 5. х⁴ + 6х³ + 5х² - 12х + 3 = 0,

(х²)² + 2�х²�3х + (3х)² - (3х)² + 5х² - 12х + 3 = 0,

(х² + 3х)² - (4х² + 12х) + 3 = 0,

(х² + 3х)² - 4(х² + 3х) + 3 = 0.

Сделаем замену переменной: х² + 3х = t.

t² - 4t + 3 = 0,

t₁ = 1, t₂ = 3.

х² + 3х = 1 или х² + 3х = 3,

х² + 3х � 1 = 0 или х² + 3х � 3 = 0,

х_1,2 = ;     х_3,4 = .

        Ответ: { ; ; ; }.

   Пример 6. х⁴  + 4х³  + 3х²  + 2х � 1 = 0,

(х²)²  + 2�2х � х²  + 4х² - х²  + 2х � 1 = 0,

(х²  + 2х)² - (х²  - 2х + 1) = 0,

(х²  + 2х)² - (х - 1)²  = 0.

Раскладывая левую часть уравнения на множители как разность квадратов, получаем

                 (х²  + х + 1) ( х²  + 3х - 1) = 0.

Так как уравнение х²  + х + 1 = 0 действительных корней не имеет, то остается х²  + 3х � 1 = 0,

х₁ = ,  х₂ = .

        Ответ: х₁ = , х₂ = .

   Пример 7.

В левой части уравнения выделим полный квадрат разности. Для этого к обоим частям уравнения прибавим ;

тогда получим

,

,

,

Обозначим , тогда

t² + 2t -  = 0,

t₁ = -  , t₂ =   .

Таким образом, решение данного уравнения сводится к решению совокупности двух уравнений:

   или .

Первое уравнение действительных корней не имеет, а из второго находим х₁ = - 4, х₂ = 1.

         Ответ: {-4; 1}.

Следующая страница>>