<<Предыдущая страница

В.П.Василенков, Р.С. Златин, А.В. Дюндин  

Раздел 1. Уравнения

 � 1. 2. Рациональные уравнения.

2.     Уравнения, приводимые к квадратным или

простейшим кубическим уравнениям.

2.1.          Биквадратные уравнения.

   Уравнения вида ах⁴ + bх² + с = 0 (а 0) называют биквадратными. Перепишем уравнение в виде а(х²)² + bх² + с = 0. Заменив выражение х² на t, мы получим квадратное уравнение аt² + bt + c = 0. Решив его, мы найдем значения квадратов корней исходного уравнения, а затем и сами корни.

   Пример. х⁴ + х² � 6 = 0.

   Сделав замену переменной х² = t, можно сразу заметить, что t 0.

Решим уравнение t² + t � 6 = 0, t₁ = 2, t₂ = -3. Так как �3<0, то -3 является посторонним корнем. Остается t = 2. Учитывая, что t = х², сделаем обратную замену: х² = 2, что равносильно условию х =  или       х = - .

       Ответ: { ;- }.

   Здесь мы впервые использовали метод замены переменной или подстановки. Он используется в том случае, если неизвестная входит в состав какого-либо повторяющегося выражения. В случае с биквадратным уравнением неизвестная х входила в состав выражения х², тогда это повторяющееся выражение можно заменить на новую переменную.

   Так, в уравнении

(х² � х - 3)(х² � х - 2) = 12

неизвестная входит только в состав выражения х² - х. Сделав замену переменной х² - х = t, мы получим новое уравнение

(t - 3)(t - 2) = 12,

которое равносильно квадратному 

t² - 5t � 6 = 0.

Корнями последнего уравнения являются числа 6 и �1. Сделав обратную подстановку, мы получим два уравнения:

х² � х = 6   и    х² � х = -1.

Первое уравнение имеет корни �2 и 3, второе не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение имеет два действительных корня: -2 и 3.

Следующая страница>>