<<Предыдущая страница

В.П.Василенков, Р.С. Златин, А.В. Дюндин

 Раздел 1. Уравнения

� 1. 2. Рациональные уравнения.

 1.     Квадратные уравнения.

  Уравнения вида , помимо формул

D = b²-4ас,  х_1,2 =            (1),

иногда имеет смысл решать и другими методами.

        Если коэффициент b - четное число ( b = 2к, к Z), то разумно использовать следующие формулы:

, х_1,2 =        (2)

(  в некоторых учебниках обозначают D₁).

   Для приведенного квадратного уравнения х² + рх + q = 0 целесообразно использовать формулы 

х_1,2 =                       (3) .

  Хотя, если внимательно приглядеться, то формула (3) является ничем иным, как формулой (2), записанной с помощью коэффициентов приведенного квадратного уравнения.

   Однако, не всегда квадратное уравнение рационально решать по формулам. Например, в уравнении  1993х² + х � 1992 = 0 большие коэффициенты делают подобные вычисления слишком громоздкими. Проще разложить левую часть уравнения на множители методом группировки.

(1993 х²  +1993 х) - (1992 х  + 1992) = 0 ,

(х +1) (1993 х - 1992) = 0,

х = -1 или х = 

Ответ: {-1; }.

   Замечание. Обратите внимание, что прежде чем использовать разложение на множители методом группировки, нам пришлось использовать несколько искусственный прием � прибавить и отнять в левой части уравнения одно и то же выражение  1992х. Этот прием часто предлагают запомнить в шутливой форме как �метод Тараса Бульбы�: я тебя породил, я тебя и убью!.

    К этому уравнению есть и другой подход, в основе которого лежит метод подбора (в литературе его иногда называют �метод пристального взгляда�). Можно заметить, что �1 является корнем этого уравнения, так как  1993(-1)² + (-1) - 1992 = 0  - верное числовое равенство. Второй корень можно найти с помощью теоремы Виета.

     х₂ (-1) = -  � х_{2  =}  .

    Чтобы не слишком зависеть от �пристальности взгляда� заметим, что для того, чтобы �1 являлось корнем  квадратного уравнения , необходимо и достаточно выполнение равенства а � b + с = 0. Попробуйте сами вывести условие того, чтобы одним из корней этого уравнения была 1.

Следующая страница>>