В

В.П.Василенков, Р.С. Златин, А.В. Дюндин

Раздел 1. Уравнения

2. Равносильные уравнения и следствия.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

Например, уравнения и равносильны, так как множество решений каждого из них состоит из одного корня - 1. Для обозначения равносильности используется значок « ». Например, .

В процессе решения стараются заменить данное уравнение на равносильное ему уравнение, но более простого вида, у которого корни можно найти простым подбором.

Преобразования, с помощью которых получают равносильные уравнения, называют равносильными. Рассмотрим некоторые равносильные преобразования.

Пусть f (x) = g (x)- некоторое уравнение, где f (x) и g (x)- выражения, содержащие неизвестную х . h (x)- некоторое выражение, определенное при всех числах, входящих в ОДЗ уравнения f (x) = g (x). Тогда :

1) f (x) = g (x) (1) f (x) + h (x) = g (x) + h (x). (2)

Докажем это утверждение. Пусть х₀- корень уравнения f (x) = g (x), тогда f (x₀) = g (x₀) – верное числовое равенство, h (x₀) - значение выражения h (x) при х = х₀. По свойству числовых равенств f (x₀) + h (x₀) = g (x₀) + h (x₀) - верное числовое равенство, но это означает, что х₀ является корнем уравнения f (x) + h (x) = g (x) + h (x). Рассуждая аналогичным образом в обратном порядке, мы докажем, что если х₀ является корнем уравнения (2), то оно является и корнем уравнения (1).Так как х₀- произвольных корень уравнений (1) и (2), то множества решений этих уравнений совпадают, что и означает их равносильность.

2) При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака получаются равносильные уравнения.

То есть f (x) = φ (x) + g (x) f (x) – φ (x) = g (x).

Доказывается аналогично 1).

Однако в процессе решения уравнения вовсе не обязательно, чтобы все преобразования были равносильны. В процессе решения могут появиться «лишние» корни, которые убираются после проверки.

Пример. Решим уравнение .

Заменим данное уравнение совокупностью трех уравнений:

или или

Но число 3 не является корнем исходного уравнения, так как не входит в его ОДЗ, следовательно, 3-«лишний» корень. Убрав его, мы получим ответ - .

В процессе преобразования уравнения важно, чтобы не были потеряны корни, а появление «лишних» легко проверить подстановкой.

Определение. Если все корни уравнения F(x) = 0 являются корнями уравнения G(x) = 0, то уравнение G(x) = 0 называется следствием уравнения

F(x) = 0.

Обозначается это следующим образом: F(x) = 0 G(x) = 0.

Имеют место следующие свойства:

1) F (x) + φ (x) – φ (x) = g (x) f (x) = g (x). Подобное преобразование еще называют приведением подобных членов.

Например, .

Действительно, решением второго уравнения является множество {1;0}, а

решением первого - {1}. Отметим, что если ОДЗ второго уравнения со

держится в множестве, при котором выражение φ (x), то оба уравнения

являются равносильными.

2) Пусть h (x) имеет смысл при всех значениях х, принадлежащих ОДЗ уравнения f (x) = g (x), тогда f (x) = g (x) f (x) h (x) = g (x) h (x). Если же h(x) еще и отлична от нуля при всех х, принадлежащих ОДЗ уравнения

f (x) = g (x), то f (x) = g (x) f (x) h (x) = g (x) h (x).

3) f (x) g (x) = 0 f (x) = 0 или g (x) = 0. Последнее означает, что корни уравнения f (x) g (x) = 0 принадлежат объединению множеств решений уравнений f (x) = 0 и g (x) = 0.

Например, если f (x) = х²- 16, g (x) = , то объединением множеств решений уравнений f (x) = 0 и g (x) = 0 является множество{-4;3;4}, а решением уравнения f (x) g (x) = 0 является множество {-4;3}. Все элементы последнего множества содержатся в первом.