В.П.Василенков, Р.С. Златин, А.В. Дюндин

Раздел 1. Уравнения  

 � 1.1. Уравнение, общие сведения.

1.   Уравнение, корни уравнения. Числовые множества.

   Равенство, содержащее переменные величины (буквы), называется уравнением.

   Переменные величины еще называют неизвестными. Если вместо неизвестных подставлять числа, то уравнение превращается либо в верное, либо в неверное числовое равенство или в числовое выражение, не имеющее смысла. Например, если в уравнение  подставить х = 1 или х = -1, то получится верное числовое равенство 0 = 0, если же х = 2, то получается неверное числовое равенство . При х = 0 получается выражение , которое не имеет смысла, так как операция деления на ноль не определена.

      Те значения переменной, которые превращают уравнение в верное числовое равенство, называются корнями уравнения. Так, каждое из чисел 1 и �1 является корнем уравнения .

       Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.  Решение уравнения зависит от того, на каком числовом множестве оно рассматривается. Так, например, уравнение  имеет один корень на множестве натуральных  чисел, два корня на множестве целых чисел, четыре корня на множестве действительных чисел и восемь корней на множестве комплексных чисел.

       В школьном курсе математики выделяют  следующие числовые множества:

1.     Множество натуральных чисел (N) � это числа вида 1,2,�,n,� Так как множество натуральных чисел является одним из первоначальных понятий математики, то определения ему не дается. Нестрого это множество можно определить как числа, используемые для счета. Следует помнить, что ноль не является натуральным числом.

2.     Множество целых чисел (Z)- это натуральные числа, числа, противоположные натуральным и ноль.

3.     Рациональные числа (Q)- это числа, которые можно представить в виде несократимой дроби вида , где .

4.     Иррациональные числа (I)- это числа, которые нельзя представить в виде несократимой дроби вида , где .

5.     Действительные числа (R). Множеством действительных чисел называется числовое множество, состоящее из тех и только тех чисел, которые являются либо рациональными, либо иррациональными.

          Очевидно, что всякое натуральное число является целым, всякое целое число является рациональным. Например, , где , а . Всякое рациональное число является действительным.

         Каждому из этих чисел можно поставить в соответствие определенную точку числовой оси. Возникает вполне закономерный вопрос: можно ли на этой числовой оси найти место иррациональным числам? Докажем, что на числовой оси с выбранным единичным отрезком существует точка с координатой  и что число  является иррациональ    Рис. 1.                        ным.

        1. По теореме Пифагора гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами, равными единице, равна . Построим перпендикуляр, равный единице, к числовой прямой в точке с координатой 1 и соединим конец перпендикуляра, не лежащий на прямой, с точкой, имеющей координату 0. Получившийся отрезок имеет длину , как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами, равными единице. Построим окружность с центром в точке с координатой 0 и радиусом, равным длине этого отрезка. Точка пересечения окружности с положительной полуосью будет иметь координату .

            2.  Докажем, что - иррациональное число.

        Вначале докажем лемму (вспомогательную теорему).

     Лемма. Если простое число р является делителем квадрата целого числа m, то р является делителем m, а также р² является делителем m². То есть, если m² р (где р - простое число), то m p и m² p².

Доказательство.

     Пусть каноническое разложение числа m на простые множители выглядит так: m = , тогда m²= . Т. к.. m² р, то какая-то степень числа р входит в каноническое разложение числа m². То есть m²= , но тогда множитель р входит и в каноническое разложение числа m и, следовательно, m p. Перепишем каноническое разложение числа m², m²= .

        Из этого видно, что m² p².

    Доказательство иррациональности числа . Предположим, что - рациональное число, тогда его можно представить в виде несократимой дроби. , где . Возведя в квадрат обе части этого равенства, получим верное числовое равенство . Значит, . Из записанного следует, что р² 2, а значит , в силу доказанной леммы р 2 и р² 4. Так как  р² 4, то , это означает, что существует такое целое число n, что  или . Последнее означает, что , а значит, и . Итак,  и , то есть дробь - сократима, что противоречит условию несократимости этой дроби. Это противоречие и означает невозможность представить   в виде рационального числа.

    В курсе высшей математики доказывается, что каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой и любой точке прямой соответствует какое-либо действительное число. Иными словами, все действительные числа сплошь (без �дырок�) заполняют числовую прямую.

    В дальнейшем, если нет специальных оговорок, будем рассматривать решение уравнения на множестве действительных чисел .

    Множество всех действительных значений переменной, при которых уравнение превращается либо в верное, либо в неверное числовое равенство, называется областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Так, например, для уравнения  ОДЗ является множество .

   Если решением уравнения являются все числа из его ОДЗ, то уравнение  называется тождеством. Например, решением уравнения  являются все числа, кроме 0 и �2, но эти числа не входят в

  ОДЗ уравнения,  следовательно, данное уравнение является тождеством.

    Корни некоторых уравнений можно найти по определению, методом подбора. Например, корень уравнения 2 ^х = 8 легко подбираем, это 3. Попробуйте сами подобрать три корня уравнения х ^{х �3}  = 1. Однако, даже подобрав эти корни, нельзя быть уверенным, что больше нет действительных корней. В процессе решения уравнения стараются свести его к более простому виду, где все корни легко находятся подбором. Для этого широко используются такие важнейшие понятия, как равносильные уравнения и следствия.

Следующая страница>>