<<Предыдущая страница

В. А. Ассонова, Н. В. Ассонова

Раздел 1. Задачи на построение

 § 1.9. Задачи для самостоятельного решения

 Уровень А

1.           Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух лучей ОХ и OY, исходящих из точки О и образующих угол XOY, меньший развернутого.

2.           Построить треугольник по двум сторонам и углу, заключенному между ними.

3.           Построить прямоугольный треугольник по двум катетам.

4.           Построить равнобедренный треугольник по основанию и высоте.

5.           Построить треугольник по трем сторонам (a,b,c).

6.           Построить равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне.

7.           Построить треугольник по данному на чертеже основанию АВ, стороне b и условию, что вершина С принадлежит данной на чертеже прямой МР.

8.           Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам.

9.           Построить равнобедренный треугольник по основанию и углу при основании.

10.       Построить прямоугольный треугольник по катету и острому углу.

11.       Построить равнобедренный треугольник по высоте и углу при вершине.

12.       Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с и катету b.

13.       На данной прямой МР найти точку, равноудаленную от двух данных точек А и В.

14.       Найти точку, равноудаленную от трех вершин треугольника.

15.       На прямой, пересекающей стороны угла, найти точку, одинаково удаленную от сторон этого угла.

16.       Дан отрезок АВ и угол М. Найти точку, равноудаленную от концов данного отрезка и от сторон данного угла.

17.       Найти точку, одинаково удаленную от трех сторон треугольника.

18.       Построить треугольник по а, В и b+c.

19.       Построить прямоугольный треугольник по катету и сумме гипотенузы с другим катетом.

20.       Построить прямоугольный треугольник по острому углу и сумме гипотенузы с катетом.

21.       Построить ромб по сумме полудиагоналей и острому углу.

22.       Построить квадрат по сумме сторон и диагонали.

23.       Построить равнобедренный треугольник по периметру и углу при основании.

24.       Построить трапецию по основаниям, высоте и диагонали.

25.       Построить трапецию по основанию а, двум неравным боковым сторонам b и d и острому углу при основании a.

26.       Построить трапецию по основанию, двум тупым углам при нем и боковой стороне.

27.       Построить трапецию по разности оснований а-с, двум острым неравным углам a и b и диагонали АС=е.

28.       Построить равнобочную трапецию по разности оснований, боковой стороне и диагонали.

29.       Построить трапецию по разности оснований, двум неравным боковым сторонам и диагонали.

30.       Построить трапецию по четырем ее сторонам.

31.       Построить трапецию по основаниям и диагоналям.

32.       Построить трапецию по основаниям, боковой стороне и прямому углу, прилежащему к другой боковой стороне.

33.       Построить трапецию по основанию, прилежащему к нему углу и двум неравным боковым сторонам.

34.       Построить окружность с центром, данным на одной стороне данного острого угла так, чтобы на другой стороне она отсекала хорду, равную отрезку а.

35.       Построить касательную к данной окружности w через данную точку А.

36.       К двум данным окружностям (О₁, R) и (О₂, r) построить общую внешнюю касательную.

37.       Построить треугольник по а, А и m_a.

38.       Построить треугольник по а, А и h_a.

39.       Построить треугольник по а, с, А.

40.       Построить треугольник по а, А и условию, что известна точка D – основание высоты h_a.

41.       Построить треугольник по а, m_a и R.

42.       Определить, пользуясь только циркулем, можно ли описать окружность вокруг данного четырехугольника.

43.       Через недоступную точку пересечения двух данных прямых построить перпендикуляр к третьей прямой, пересекающей данные. Указание. Воспользоваться теоремой о пересечении трех высот треугольника.

44.       Построить треугольник по острому углу С=g, высоте h_c и условию, что a : b = m : n (m и n – отрезки).

45.       Построить треугольник по тупому углу ÐВ=b, отношению сторон a : b = m : n и третьей стороне с.

46.       Построить треугольник по углу ÐС=g, отношению сторон a : b = 5 : 4 и биссектрисе угла С.

47.       Построить треугольник по отношению сторон a : b = m : n, острому углу ÐА=a и m_a.

48.       Построить треугольник по отношению сторон b : c = 2 : 3, ÐС и h.

49.       Построить треугольник по отношению сторон b : c = m : n, ÐС и b.

50.       Построить треугольник по b : h_b = m : n, ÐВ=b и m_a.

51.       Построить треугольник, если дано: a : b = m : n, ÐС=g и сумма сторон a+b=e.

52.       Построить треугольник, если дано: a : c = m : p, ÐА=a и сумма медиан m_a+m_b+m_c.

53.       В данный остроугольный треугольник вписать ромб с данным острым углом d так, чтобы две его вершины принадлежали одной из сторон треугольника.

54.       Дан треугольник АВС. Построить прямую MN, параллельную АС и пересекающую стороны треугольника так, чтобы разность MB - NC была равна данному отрезку d.

55.       Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с и высоте h_c.

 

Уровень В

56.       Построить треугольник по а, b, В.

57.       Построить треугольник, основанием которого служит данный на чертеже отрезок ВС, если медиана к основанию равна m_a, а вершина А принадлежит данной прямой PQ.

58.       Построить треугольник, основанием которого служит данный на чертеже отрезок ВС, если медиана к основанию равна m_a, а вершина А принадлежит данной окружности w.

59.       Построить треугольник по a, b, m_a.

60.       Построить треугольник по а, В, b+c.

61.       Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и сумме катетов.

62.       Построить окружность данного радиуса r, проходящую через две данные точки А и В.

63.       Построить окружность радиуса r, центр которой равноудален от двух данных точек и равноудален от двух данных параллельных прямых.

64.       Разделить пополам угол, вершина которого не поместилась на чертеже.

65.       Найти ГМ вершин треугольников с общим основанием а и равными высотами h_a.

66.       Найти ГМ середин отрезков, соединяющих данную точку А со всеми точками данной прямой MN.         
Указание. Если В и С – две произвольные точки прямой MN, то в треугольнике АВС высота h_a – известна и постоянна. Тогда середина D отрезка АВ обладает тем свойством, что она удалена от MN на известное расстояние h_a/2. Такие точки составят прямую, параллельную MN и удаленную от нее на h_a/2.

67.       Найти ГМТ, удаленных от данного отрезка ВС на данное расстояние h.

68.       Найти ГМТ, обладающих тем свойством, что отрезки касательных, проходящих через них к данной окружности, равны данному отрезку.

69.       Найти ГМ оснований перпендикуляров, построенных через данную точку, к прямым, проходящим через другую данную точку.

70.       Найти ГМ середин хорд данной окружности, проходящих через данную вне (внутри) окружности точку.

71.       Найти ГМ точек пересечения двух прямых, образующих данный угол, причем одна прямая проходит через данную точку А, а другая – через точку В.

72.       Построить окружность, касающуюся трех данных прямых, образующих треугольник.

73.       Построить треугольник, зная а, h_a и острый угол между m_b и стороной с.

74.       Построить прямоугольный треугольник по с и r.

75.       Построить треугольник по а, ÐА=a и радиусу r вписанного круга.

76.       Построить треугольник по b, острому углу ÐВ=b и m_c.

77.       Построить треугольник по а, острому углу А и h_b.

78.       Построить четырехугольник по двум диагоналям, двум смежным сторонам и углу, образованному двумя смежными сторонами.

79.       Построить окружность данного радиуса r, касающуюся данной окружности (О, R) и данной прямой АВ.

80.       Даны три точки А, В и С. Найти четвертую точку О, такую, чтобы углы АОВ и ВОС были данной величины.

81.       Между двумя параллельными прямыми а и b даны две точки А и В. Построить четырехугольник наименьшего периметра так, чтобы две его вершины принадлежали, соответственно, прямым а и b, а двумя остальными вершинами были точки А и В.

82.       Построить по четырем сторонам четырехугольник ABCD, зная, что диагональ АС делит угол А пополам.

83.       Построить трапецию по основанию а, боковой стороне d, углу С и условию, что диагональ АС есть биссектриса угла А.

84.       Построить треугольник по m_a, h_a и ÐА=a.

85.       Построить четырехугольник ABCD, зная все его стороны, и отрезок EF, соединяющий середины противоположных сторон.

86.       Построить трапецию по трем ее сторонам и отрезку, соединяющему середины параллельных сторон.

87.       Между населенными пунктами А и В протекает река с берегами MN и M¢N¢ (для простоты MN||M¢N¢). Требуется построить мост через реку так, чтобы путь от одного населенного пункта до другого был кратчайшим.

88.       Построить равносторонний треугольник АВС так, чтобы его вершины находились соответственно на трех данных параллельных прямых a, b и с.

89.       Дана прямая е, окружность (О, R), не имеющая с е общих точек, и точка S. Построить равносторонний треугольник так, чтобы одной из его вершин была точка S, а две другие принадлежали соответственно данным прямой и окружности.

90.       Построить треугольник, если известны: а, А и b : c = m : n.

91.       Построить треугольник, если известны: а, m_a и b : c = m : n.

92.       Построить треугольник, если известны: а, h_a и b : c = m : n.

93.       Построить треугольник, если известны: а, В и b : c = m : n.

94.       Построить треугольник, если известны угол между биссектрисой и основанием, и отрезки m и n, на которые биссектриса делит основание треугольника.

95.       Построить треугольник по А, В и 2р.

96.       Построить треугольник по двум углам В=b и С=g и радиусу R.

 

ЛИТЕРАТУРА

1.        Сенников Г.П. Решение задач на построение в VI-VIII классах. – М.: Учпедгиз, 1955.

2.        Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1966.

3.        Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1990.

4.        Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1994.