Е.А.
Царева
Раздел 3. Мир
теплоты.
3.8. Примеры решения задач
Решение. Большая
лунка
образуется в
случае б). Так
как в этом
случае
основной
запас
внутренней
энергии
цилиндра
сосредоточен
в нижней
части, где
происходит
непосредственный
обмен
энергии со
льдом. В
случае а) этот
обмен
несколько
затруднен
быстро
охладившимся
в месте
соприкосновения
со льдом
металлом и
плохой
теплопроводностью
воздуха в
полости
цилиндра.
Решение: Обозначим
массу льда
; начальную
температуру
льда Т1,
конечную
температуру
пара Т2, с1 = 2,1 103
Дж/(кг К)
удельная
теплоемкость
льда, с2 = 4,19 103
Дж/(кг К)
удельная
теплоемкость
воды, Т3 = 0
температура
плавления
льда, l = 33,6 104Дж/кг
удельная
теплота
плавления
льда,
= 22,6 105 Дж/кг
удельная
теплота
парообразования
воды при
температуре
кипения Т2 = 1000С.
Количество
теплоты,
необходимое
для
превращения
воды из
одного
агрегатного
состояния в
другое, равно
сумме
количеств
теплоты,
затраченных:
а) на
нагревание
льда от
начальной
температуры
Т1 до
температуры
плавления Т3 -
; б) на
плавление
льда при
температуре
плавления -
;. На
нагревание
воды от
температуры
плавления до
температуры
кипения Т2 -
; для
превращения
воды в пар при
температуре
кипения -
.
Таким
образом,
необходимое
количество
теплоты
будет равно:
.
Поскольку
,
,
,
, то получим:
+ + + .
Подстановка
числовых
данных в
формулу
приводит к
результату:
Ответ:
3,06 МДж.
Решение: Составим
уравнение
теплового
баланса:
количество
теплоты,
отданное
металлом,
равно
количеству
теплоты,
полученному
водой и
сосудом, т.е.
, где
-
количество
теплоты,
отданное
свинцом,
,-
количество
теплоты,
полученное
водой и
сосудом.
Пусть Q -
температура,
установившаяся
после
охлаждения
металла.
Тогда
,
где
первое
слагаемое
количество
теплоты,
выделившееся
при
кристаллизации
металла,
второе при
охлаждении
затвердевшего
металла от
температуры
плавления до
установившейся
температуры Q,
l
- удельная
теплота
плавления (кристаллизации)
металла, с1
его
удельная
теплоемкость.
,
где первое
слагаемое
это
количество
теплоты,
полученное
водой, второе
сосудом, с2
удельная
теплоемкость
воды.
Составим
уравнение
, (*)
решив
которое
получим:
.
В
приведенном
выше примере
при
составлении
уравнения
теплового
баланса мы
везде из
большего
значения
температуры
вычитали
меньшее,
поэтому
значения
количеств
теплоты
всегда были
положительными.
Рассмотрим другой
подход к
составлению
этого
уравнения.
Количество
теплоты,
получаемое
телом, будем
считать
положительным,
а количество
теплоты,
отдаваемое
телом, -
отрицательным.
Тогда при
теплообмене
между телами
изолированной
(замкнутой)
системы
алгебраическая
сумма
количеств
теплоты,
полученных
или отданных
телами, равна
нулю.
.
Это
и есть
уравнение
теплового
баланса.
Составляя
его, нужно в
формуле для
подсчета
количества
теплоты
всегда
вычитать из
конечной
температуры
начальную.
Тогда в
случае
нагревания
тела получим
, а при
охлаждении -
. Количество
теплоты,
выделившееся
при
кристаллизации
следует
считать
отрицательным
.
Используя такой подход, решим приведенную выше задачу другим способом. Составим уравнение теплового баланса:
=0.
Легко
видеть, что
это
уравнение
равносильно
уравнению (*), т.е.
в результате
решения мы
получим
такое же
значение
температуры Q.
Решение: Рассмотрим
качественную
картину
явления. Так
как
, то лед,
попадая в
воду, будет ее
охлаждать, а
вода
нагревать
лед. При этом
возможны
ситуации:
Ситуация 1. Весь
лед растает,
останется
вода массой
и
температурой
.Сначала лед
будет
оставаться в
твердом
состоянии,
пока его
температура
не достигнет
температуры
плавления (00С).
Количество
теплоты,
которое
пойдет на это
нагревание
. Если
температура
плавления
достигнута, а
теплота
продолжает
поступать,
лед начнет
плавиться
(температура
льда будет
постоянна и
равна 00С), а
температура
воды будет
понижаться.
Количество
теплоты,
необходимое
для того,
чтобы лед
растаял
, если после
того, как весь
лед растаял,
температура
воды будет
еще выше
температуры
плавления,
передача
теплоты
будет
продолжаться,
причем бывший
лед получит
количество
теплоты
, где Q>0
температура
равновесного
состояния.
Вода при этих
процессах
отдаст льду
количество
теплоты
.
Уравнение
теплового
баланса
запишется в
виде
. Тогда
получим:
. Отсюда
искомая
температура:
при этом
должно быть Q
> 0.
Ситуация
2.
Вода при
охлаждении
до
температуры
плавления
отдает тепла
меньше, чем
необходимо
для
нагревания
льда до этой
же
температуры,
в результате
чего часть
воды
замерзает. В
этом случае
лед
нагревается
до
температуры Q
(
), на что идет
количество
теплоты
. Вода сначала
охлаждается
до
температуры
замерзания (00С),
отдавая
количество
теплоты
, затем
замерзает,
отдавая
количество
теплоты
, и, наконец,
еще
охлаждается
до конечной
температуры Q,
отдавая
количество
теплоты
.Уравнение
теплового
баланса
будет иметь
вид:
, откуда
. При этом
должно быть Q< 0.
Ситуация
3.
Соотношения
между
массами и
температурами
воды и льда
таковы, что
при
соприкосновении
получается
нулевая
температура,
и будут
существовать
совместно и
вода и лед при
Q = 00С. При
этом,
повторяя
предыдущие
рассуждения,
легко
получить, что
.
Значит, ситуация 3 осуществляется при .
5.
В
калориметр,
содержащий m1
= 2 кг воды при
температуре t1
= 5оС,
положили
кусок льда,
масса
которого m2 = 5
кг и
температура t2
= - 40о С.
Определите
температуру
и состав
содержимого
калориметра
после
установления
теплового
равновесия.
Теплоёмкостью
калориметра
и
теплообменом
с внешней
средой
пренебречь.
Удельная
теплоёмкость
воды с1
= 4,2 кДж/(кг К),
льда с2 = 2,1 кДж/(кг
К), удельная
теплота
плавления
льда l = 0,33 МДж/кг.
Решение. В
принципе
возможны 4
случая:
1)
Весь
лёд растает, и
температура
смеси будет
выше 0 С;
2)
Вся
вода
замёрзнет, и
температура
содержимого
будет ниже 0оС;
3)
Замёрзнет
часть воды, и
в
калориметре
установится
температура0о
С;
4)
Растает
часть льда,
и
температура
смеси будет 0о С.
Будем
вести расчет
последовательно.
Найдем
количество
теплоты,
которое
необходимо
сообщить
льду, чтобы
его нагреть
до
температуры
плавления:
Затем
найдем
количество
теплоты,
отданное
водой при
охлаждении
до 00С:
.
Сравнивая
и
, видим, что
для
нагревания
льда до
температуры
плавления
необходимо
тепла больше,
чем
выделилось
при
охлаждении
воды, значит,
вода начнет
замерзать.
Подсчитаем,
какое
количество
теплоты
выделится
при
замерзании
воды.
.
Из
сравнения
полученного
и отданного
количеств
теплоты
видно, что
в этой
задаче
возможен
лишь случай 3:
замёрзнет
часть воды, и
в
калориметре
установится
температура
смеси 0о С.
Решение. Энергия,
необходимая
для
образования
пара, может
быть
получена за
счет энергии,
выделившейся
при
замораживании
воды.
Пусть
m1
масса образовавшегося
льда, а m2
масса пара,
тогда масса
воды до
замерзания
.
При
кристаллизации
воды массой
m1
выделяется
количество
теплоты,
равное
.
При
испарении
воды массой
требуется
количество
теплоты,
равное
.
В
соответствии
с законом
сохранения
энергии
можно
записать:
.
С
учетом
соотношения
(1) уравнение (2)
примет вид:
.
Решив
это
уравнение
относительно
, найдем:
.
Подставив
числовые
значения,
получим m1
0,87 m
(87% от
первоначальной
массы).
Решение.
Пусть массы
воды равна
и кипит она
при
температуре
=1000С. Тогда
можно
записать, что
для
нагревания
воды до
кипения
потребовалась
мощность
,
(1)
где
-
удельная
теплоемкость
воды. Если при
той же
подводимой
мощности
время,
необходимое
для
испарения
воды,
обозначим
через
, то можно
записать:
,
(2)
где
-
удельная
теплота
парообразования
воды.
Приравняв
(1) и (2), получим:
(мин).
Если
массу
переохлажденной
воды
обозначить
через
, а массу
образовавшегося
льда через
, то можно
записать, что
масса
оставшейся
воды будет
равной
, а искомым
отношением
будет
. Количество
теплоты
, выделяемое
при
замерзании
воды, пойдет
на
нагревание
оставшейся
воды до
температуры 00С
(т.е. на
). Поэтому
можно
записать:
, где с
удельная
теплоемкость
воды. В свою
очередь
количество
теплоты
, выделяемое
при
образовании
льда,
определяется
по формуле
, где
-
удельная
теплоемкость
плавления
льда. На
основании
закона
сохранения и
превращения
энергии
. Поэтому,
можно
записать
. Решая это
уравнение
относительно
искомого,
найдем
,
что
составляет 11%.
Решение. Из условия
задачи видно,
что в
рассматриваемом
процессе
происходит
теплообмен,
вследствие
чего
происходит
нагрев воды в
кожухе до
температуры
кипения и
превращение
части воды в
пар, а также
совершается
механическая
работа по
перемещению
пули в стволе
пулемета (если
пренебречь
силами
сопротивления,
то величина
работы
равна
изменению
кинетической
энергии пули).
Оба этих
процесса
происходят
благодаря
выделению
энергии при
сгорании
топлива.
Количество
теплоты,
выделившееся
при сгорании
топлива в
течение
времени t
непрерывной
стрельбы
будет равно:
.
Уравнение
закона
превращения
энергии при
теплообмене
с учетом КПД
этого
процесса
имеет вид:
,
где
- количество
теплоты,
полученное
водой при
нагревании
до
температуры
кипения и
превращения
половины ее в
пар.
Тогда
получим::
.,
Откуда
.
Учитывая,
что работа
расширения
газа равна
изменению
внутренней
энергии
сгораемого
топлива,
получим:
, или
м/с.
10.
Изменится
ли
внутренний
диаметр
металлического
кольца, если
его нагреть?
Неправильно
полагать, что
при
нагревании
внутренний
диаметр
кольца
уменьшится,
потому, что
при
нагревании
тел,
отверстия в
них не
уменьшаются,
а
увеличиваются.
Это станет
понятно из
следующего
рассуждения.
Если
бы не было
внутреннего
отверстия, то
заполняющее
его вещество
при
нагревании
тела
расширилось
бы точно в
такой же мере,
как и
окружающий
металл: иначе
в детали
образовались
бы либо
складки, либо
зазор; между
тем известно,
что при
тепловом
расширении
однородного
тела никаких
складок и
щелей в нем не
возникает.
Отсюда ясно,
что кольцо
расширяется
так, словно
внутреннее
отверстие
заполнено
металлом:
иначе говоря,
при
нагревании
дыра
увеличивается,
как равный ей
участок
металлического
круга.
Поэтому
вместимость
сосудов,
просветы
труб, всякого
рода полости
в деталях при
нагревании
увеличиваются
(а при
охлаждении
уменьшаются).
Коэффициент
этого
расширения
такой же, как
и у
окружающего
вещества.
11.
Разность
длин
алюминиевого
и медного
стержней при
любой
температуре
составляет 15
см. Какую
длину будут
иметь эти
стержни при 00С?
Решение. По закону
линейного
расширения
для каждого
из стержней
можно
записать:
Для алюминиевого: ; (1)
Для
медного:
,
(2) где
-
коэффициенты
линейного
расширения
алюминия и
меди. Так как
разность
длин
стержней при
любой
температуре
одна и та же,
то:
и
.
(3)
Вычтем
почленно из
уравнения (1)
уравнение (2):
(4)
Преобразуем
выражение (4) с
учетом (3):
(5)
Откуда (6)
Выразив
из (3)
и подставив
его в
уравнение (6),
получаем:
откуда
.
Аналогично
находим, что
.
Тогда
для меди:
м.
Для
алюминия:
м.