<<Предыдущая страница.

Е.А. Царева 

Раздел 3. Мир теплоты.

                 3.8. Примеры решения задач

 

 

  1. Металлический цилиндр с продольной полостью в нем, хорошо прогретый в кипящей воде, кладут на поверхность льда (рис. 1). В каком случае ( а) или б) ) под цилиндром, когда он полностью остынет, образуется большая лунка? Принять, что цилиндр не поворачивается, а может смещаться лишь книзу.

 

Решение. Большая лунка образуется в случае б). Так как в этом случае основной запас внутренней энергии цилиндра сосредоточен в нижней части, где происходит непосредственный обмен энергии со льдом. В случае а) этот обмен несколько затруднен быстро охладившимся в месте соприкосновения со льдом металлом и плохой теплопроводностью воздуха в полости цилиндра.

 

  1. Какое количество теплоты необходимо для того, чтобы 1,5 кг льда, взятого при температуре 200С, превратить в пар при 1000С?

 

Решение:   Обозначим массу льда ; начальную температуру льда Т1, конечную температуру пара Т2, с1 = 2,1 103 Дж/(кг К) удельная теплоемкость льда, с2 = 4,19 103 Дж/(кг К) удельная теплоемкость воды, Т3 = 0 температура плавления льда, l = 33,6 104Дж/кг удельная теплота плавления льда,  = 22,6 105 Дж/кг удельная теплота парообразования воды при температуре кипения Т2 = 1000С.

Количество теплоты, необходимое для превращения воды из одного агрегатного состояния в другое, равно сумме количеств теплоты, затраченных: а) на нагревание льда от начальной температуры Т1 до температуры плавления Т3  - ; б) на плавление льда при температуре плавления - ;. На нагревание воды от температуры плавления до температуры кипения Т2 - ; для превращения воды в пар при температуре кипения - .

Таким образом, необходимое количество теплоты будет равно:

                                .

   Поскольку , , , , то получим:

                                               + + + .

Подстановка числовых данных в формулу приводит к результату:

 

Ответ: 3,06 МДж.

  1. Расплавленный металл массой  при температуре плавления вливают в сосуд с водой, масса которой и температура . Какая температура установится в сосуде, если его теплоемкость С? Испарением воды пренебречь.

 

Решение: Составим уравнение теплового баланса: количество теплоты, отданное металлом, равно количеству теплоты, полученному водой и сосудом, т.е. , где  - количество теплоты, отданное свинцом, ,- количество теплоты, полученное водой и сосудом. Пусть Q - температура, установившаяся после охлаждения металла. Тогда

                                         ,

где первое слагаемое количество теплоты, выделившееся при кристаллизации металла, второе при охлаждении затвердевшего металла от температуры плавления до установившейся температуры Q, l - удельная теплота плавления (кристаллизации) металла, с1 его удельная теплоемкость.

Полученное количество теплоты

                                 ,

где первое слагаемое это количество теплоты, полученное водой, второе сосудом, с2 удельная теплоемкость воды.

Составим уравнение

                                 ,       (*)

 решив которое получим: 

                                 .

В приведенном выше примере при составлении уравнения теплового баланса мы везде из большего значения температуры вычитали меньшее, поэтому значения количеств теплоты всегда были положительными.

Рассмотрим другой подход к составлению этого уравнения.

Количество теплоты, получаемое телом, будем считать положительным, а количество теплоты, отдаваемое телом, - отрицательным. Тогда при теплообмене между телами изолированной (замкнутой) системы алгебраическая сумма количеств теплоты, полученных или отданных телами, равна нулю.

                                                                 .

Это и есть уравнение теплового баланса. Составляя его, нужно в формуле для подсчета количества теплоты

                                                                

всегда вычитать из конечной температуры начальную. Тогда в случае нагревания тела получим , а при охлаждении -   . Количество теплоты, выделившееся при кристаллизации следует считать отрицательным .

Используя такой подход, решим приведенную выше задачу другим способом. Составим уравнение теплового баланса:

                     =0.

Легко видеть, что это уравнение равносильно уравнению (*), т.е. в результате решения мы получим такое же значение температуры Q.

  1. В воду массой  и температурой  бросают кусок льда массой  и температурой . Описать состояние, которое получается при наступлении равновесия и найти соответствующую температуру. Удельная теплота плавления льда l, удельная теплоемкость воды с1, льда с2.

Решение: Рассмотрим качественную картину явления. Так как , то лед, попадая в воду, будет ее охлаждать, а вода нагревать лед. При этом возможны ситуации:

Ситуация 1.  Весь лед растает, останется вода массой и температурой .Сначала лед будет оставаться в твердом состоянии, пока его температура не достигнет температуры плавления (00С). Количество теплоты, которое пойдет на это нагревание . Если температура плавления достигнута, а теплота продолжает поступать, лед начнет плавиться  (температура льда будет постоянна и равна 00С), а температура воды будет понижаться. Количество теплоты, необходимое для того, чтобы лед растаял , если после того, как весь лед растаял,  температура воды будет еще выше температуры плавления, передача теплоты будет продолжаться, причем бывший лед получит количество теплоты , где Q>0 температура равновесного состояния. Вода при этих процессах отдаст льду количество теплоты .

Уравнение теплового баланса запишется в виде . Тогда получим: . Отсюда искомая температура:

                                

при этом должно быть Q > 0.

Ситуация 2.  Вода при охлаждении до температуры плавления отдает тепла меньше, чем необходимо для нагревания льда до этой же температуры, в результате чего часть воды замерзает. В этом случае лед нагревается до температуры Q ( ), на что идет количество теплоты . Вода сначала охлаждается до температуры замерзания (00С), отдавая количество теплоты , затем замерзает, отдавая количество теплоты , и, наконец, еще охлаждается до конечной температуры Q, отдавая количество теплоты .Уравнение теплового баланса будет иметь вид: , откуда       . При этом должно быть Q< 0.

Ситуация 3. Соотношения между массами и температурами воды и льда таковы, что при соприкосновении получается нулевая температура, и будут существовать совместно и вода и лед при Q = 00С. При этом, повторяя предыдущие рассуждения, легко получить, что

 

.

Значит, ситуация 3 осуществляется при  .

 

5.      В калориметр,  содержащий m1 = 2 кг воды при температуре t1  = 5оС, положили кусок льда,  масса которого m2 = 5 кг и температура t2 = - 40о С. Определите температуру и состав содержимого  калориметра  после установления теплового равновесия.  Теплоёмкостью калориметра и теплообменом с внешней средой пренебречь.  Удельная теплоёмкость воды с1  = 4,2 кДж/(кг К), льда с2 = 2,1 кДж/(кг К), удельная теплота плавления льда l = 0,33 МДж/кг.

 

Решение. В принципе возможны 4 случая:

1)      Весь лёд растает, и температура смеси будет выше 0 С;

2)      Вся вода замёрзнет, и температура содержимого будет ниже 0оС;

3)      Замёрзнет часть воды, и в калориметре установится температура0о С; 

4)      Растает часть льда,  и температура смеси будет 0о С.

Будем вести расчет последовательно.

Найдем количество теплоты, которое необходимо сообщить льду, чтобы его нагреть до температуры плавления:

 

Затем найдем количество теплоты, отданное водой при охлаждении до 00С:                     .

Сравнивая  и , видим, что для нагревания льда до температуры плавления необходимо тепла больше, чем выделилось при охлаждении воды, значит, вода начнет замерзать. Подсчитаем, какое количество теплоты выделится при замерзании воды. .

            Из сравнения полученного и отданного количеств теплоты видно,  что в  этой  задаче возможен лишь случай 3:  замёрзнет часть воды, и в калориметре установится температура смеси 0о С.

 

  1. В сосуде, из которого быстро откачивают воздух, находится вода массой m при t = 00C. В  результате  интенсивного испарения происходит замораживание воды.  Какая часть m1 первоначальной массы воды обратилась в лед?

 

Решение. Энергия, необходимая для образования пара, может быть получена за счет энергии, выделившейся при замораживании воды.

Пусть m1 масса  образовавшегося льда, а m2 масса  пара, тогда масса воды до замерзания .

При кристаллизации воды  массой m1  выделяется количество теплоты, равное .

При испарении воды массой  требуется  количество теплоты, равное .

В соответствии с законом сохранения энергии можно записать: .

С учетом соотношения (1) уравнение (2) примет вид: .

Решив это уравнение относительно ,  найдем:               .

       Подставив числовые значения, получим m1 0,87 m (87% от первоначальной массы).

 

  1. В кастрюлю налили холодной воды при температуре Т1 = 100С и  поставили на электроплитку. Через t = 10 мин вода закипела. Через какое время она полностью испарится?

 

        Решение. Пусть массы воды равна и кипит она при температуре  =1000С. Тогда можно записать, что для нагревания воды до кипения потребовалась мощность                    ,                          (1)

где  - удельная теплоемкость воды. Если при той же подводимой мощности время, необходимое для испарения воды, обозначим через , то можно записать:                                           ,                               (2)

 где  - удельная теплота парообразования воды.                                                                                                                           

Приравняв (1) и (2), получим:

                                 (мин).

 

  1. Дистиллированную воду можно охладить до температуры 100С, и она не замерзает. Но если в эту переохлажденную воду бросить кристаллик льда, то она сразу же начинает замерзать. Какая часть воды замерзнет? Потерями теплоты пренебречь.

 

Если массу переохлажденной воды обозначить через , а массу образовавшегося льда через , то можно записать, что масса оставшейся воды будет равной , а искомым отношением будет . Количество теплоты , выделяемое при замерзании воды, пойдет на нагревание оставшейся воды до температуры 00С (т.е. на ). Поэтому можно записать: , где с удельная  теплоемкость воды. В свою очередь количество теплоты , выделяемое при образовании льда, определяется по формуле , где  - удельная теплоемкость  плавления льда. На основании закона сохранения и превращения энергии . Поэтому, можно записать . Решая это уравнение относительно искомого, найдем

,

 что составляет 11%.

 

  1. Кожух станкового пулемета заполнен = 4 кг воды при температуре = 00С. Скорость стрельбы  = 10 выстрелов в секунду. Заряд пороха в патроне = 3,2 10-3 кг. За какое время выкипит половина воды в кожухе при непрерывной стрельбе? Считать, что на нагревание ствола идет 30% теплоты, выделенной при сгорании топлива. Какова начальная скорость пули, если масса пули = 9,6 10-3 кг, а КПД пулемета 30%?

 

Решение. Из условия задачи видно, что в рассматриваемом процессе происходит теплообмен, вследствие чего происходит нагрев воды в кожухе до температуры кипения и превращение части воды в пар, а также совершается механическая работа по перемещению пули в стволе пулемета (если пренебречь силами сопротивления, то величина  работы равна изменению кинетической энергии пули). Оба этих процесса происходят благодаря выделению энергии при сгорании топлива.

Количество теплоты, выделившееся при сгорании топлива в течение времени t непрерывной стрельбы будет равно: .

Уравнение закона превращения энергии при теплообмене с учетом КПД этого процесса имеет вид:

,

 где - количество теплоты, полученное водой при нагревании до температуры кипения и превращения половины ее в пар.

Тогда получим:: .,

Откуда .

Учитывая, что работа расширения газа равна изменению внутренней энергии сгораемого топлива, получим:

, или

м/с.

10.  Изменится ли внутренний диаметр металлического кольца, если его нагреть?

 

Неправильно полагать, что при нагревании внутренний диаметр кольца уменьшится, потому, что при нагревании тел, отверстия в них не уменьшаются, а увеличиваются. Это станет понятно из следующего рассуждения.

Если бы не было внутреннего отверстия, то заполняющее его вещество при нагревании тела расширилось бы точно в такой же мере, как и окружающий металл: иначе в детали образовались бы либо складки, либо зазор; между тем известно, что при тепловом расширении однородного тела никаких складок и щелей в нем не возникает. Отсюда ясно, что кольцо расширяется так, словно внутреннее отверстие заполнено металлом: иначе говоря, при нагревании дыра увеличивается, как равный ей участок металлического круга. Поэтому вместимость сосудов, просветы труб, всякого рода полости в деталях при нагревании увеличиваются (а при охлаждении уменьшаются). Коэффициент этого расширения такой же, как и у окружающего вещества.

 

11.  Разность длин алюминиевого и медного стержней при любой температуре составляет 15 см. Какую длину будут иметь эти стержни при 00С?

 

Решение. По закону линейного расширения для каждого из стержней можно записать:

Для алюминиевого: ;                                                     (1)

Для медного: ,                                                  (2)       где - коэффициенты линейного расширения алюминия и меди. Так как разность длин стержней при любой температуре одна и та же, то:                               и .                                   (3)

Вычтем почленно из уравнения (1) уравнение (2):

         (4)

Преобразуем выражение (4) с учетом (3):

                           (5)

Откуда                                                                   (6)

 

Выразив из (3) и подставив его в уравнение (6), получаем:

                                                    

откуда                       .

Аналогично находим, что

.

Тогда для меди: м.

Для алюминия: м.

 

Следующая станица>>

Используются технологии uCoz